Coronavirus spread

(Jan. 16, 2021; last update Jun. 08, 2021)

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論文[1]で我々はコロナウィルス COVID-19 の広がり方についてそれぞれの感染爆発(outbreak)では陽性者数データがゴンペルツ関数(2重指数関数)で近似的に表せていることを示しました。こうした考え方は中野-池田のK値論文[2], M. LevittのYoutube Lectureや論文[3], および[1]の Ref.[3]-[21]で引用している論文で用いられています。 (K値論文[2]での仮定がGompertz関数を導くことは秋山氏のホームページ[4]で示されています。)

ゴンペルツ関数 f_G(x)=exp[-e^-x] は立ち上がりが速く、漸近値への収束が遅い関数です。ですから"感染"(正確にはウイルスが他の人に伝染ること)自体は速く起こるが、体内にウィルスが増えて陽性と判断できるまでの時間が ("感染"に比べて)遅い場合などでは観測される陽性者数をうまく記述できると思われます。別の考え方として、ある保菌者が濃厚接触する有限の人の内、 "感染"しにくい人が一定の割合おり、また極少量のウィルスを浴びてT cellが活性化するなどで"感染"しうる人が時間とともに指数関数的に減る場合には、結果的に"感染"確率が指数関数的に減少するため、ゴンペルツ関数が従う dN(t)/dt = γ e^{-γ t} N(t) という方程式によって陽性者が増えていくことになっているのかもしれません (この部分の基本的なアイデアは知り合いのS氏による)。いずれにせよ多くの国で最初の大きな感染爆発での陽性者数はスケーリング変数を用いるとゴンペルツ関数で表せることを示したのが論文[1]です。その後の陽性者数は一つのゴンペルツ関数では表せず、多成分での分析(いくつかのゴンペルツ関数の和を用いた分析)が必要となります。成分の個数を増やすとどんな(増加)関数でも表せるので、少数の項で表せることが大切です。

最初の原稿の投稿後、改定した論文(Appendix)に示した分析は以前のページに(主として)日本語で説明しています。 7-8月の第2波についても触れており、個人的には東京発の変異種のせいだろうと納得しておりました。 12-1月の第3波については寒さと乾燥のため(冬に風邪が流行る通常の理由)に加えて、クリスマス・正月時期の多人数でのおしゃべりが原因なのだろうと思いますが、いかんせん数が多い。少しだけグラフを作ってみました。

まず世界全体の状況から。 Coronavirus Source Data by Hannah Ritchie [5]のデータによると、半分程度の国では夏に陽性者が減っていますが、秋から冬にかけて多くの国で一日あたり1万人程度の陽性者が出ています。日本でも「第３波」のため、欧米の多くの国よりも２桁近く少なかった日本での陽性者は１桁少ない程度まで多くなってしまいました。アジアの国の中では多い方かもしれません。家庭内での陽性化を抑えるのが鍵かもしれません。
(January 16, 2021)
日本の「第3波」の中でクリスマス・正月近辺で陽性化が広がったピークが日々の陽性者数を押し上げています。ただし前後３日間の陽性者平均値は、楽観的に見れば1/8くらいにピークとなり、その後下がっているように見えます。ゴンペルツ関数を5つ使ってフィットしてみると(*)、クリスマス・正月による増加分は比較的早く収束しそうです。この傾向は前後3日の平均を行わなくても、例えばJohns Hopkins Universityがまとめた生データ[6]でも見えています。仁井田浩二さんのシミュレーション計算の結果[7]だともう少しピークアウトは遅くなりそうですが、幅が狭いのは変わりないようです。緊急事態宣言の早期の解除を期待しましょう。ただし11月からだらだらと続く、テールの長い感染爆発の方が尾を引きそうです。
(*: 全てのパラメータを自由にしてフィットするとパラメータの誤差が大きくなるので、 4つめと5つめのゴンペルツ項での陽性化確率減少率(γ)を固定してフィットしており、模型の中での完全なフィットではありません。)
(January 16, 2021)
5日経ってピークの形がはっきりしてきたので、陽性者についてのモデル・パラメータは全て自由にして再フィットしました。クリスマス・正月のピークは早く収束しそうです(**)が、やはり11月から続く冬の感染爆発(outbreak)は長く続きそうです。
(**: ただし線形スケールの図(右側)でみると、 1月の陽性者数のピークの形がずれています。もう少しテールが長いかも。ゴンペルツ関数での記述からずれているのか？)
(January 23, 2021)
緊急事態宣言から1ヶ月経ち、2/5までの新しい陽性者データ [5]の再フィットを行いました。 1/19, 1/31 までのデータを使ったフィット(上の2本の水色の線)よりも下がっており、 γを制限した1/14の結果(下の水色の線)に近づいています。 (これらの違いを予測誤差とすると、t=500での予測値には1桁近い不定性がありますね..) クリスマス・正月の(おそらく家族・親族・友人での会食の増加による)outbreakは非常に早く収束しているようであり(γ=0.14, 7日間で約0.4倍)、 11月から始まった(おそらく気温低下[8]による)大きなoutbreakも 1/19の予想よりも早く落ち着きそうです。
こうした楽観的な予想通りに現在のoutbreakが収まるとすると、次のoutbreakを小さなものに抑えることができるかどうかが次の関心でしょう。現在までの日本のoutbreakは、ヨーロッパからのウイルスによると推測される広がり(3-4月)、日本で突然変異したウイルスによると推測される広がり(7-8月)、寒さによると推測される広がり(11-1月)と約4ヶ月周期で始まってしまっています。ウイルスの変異は止められませんが、通常の対策に加えて自然免疫やワクチンで、 (できれば経済活動を抑えることなく) 次こそピークの高さを小さくできるとよいですね。
(February 7, 2021)
図の更新です。
クリスマス・正月の(と思われる)陽性者数よりも、寒さの(によると思われる)陽性者数の山が主要成分になっています。山を乗り換えると、まあ実効再生算数は一旦増えますね。
またカーブがゴンペルツ曲線で表されるとき、実効再生産数はゼロに近づくのではなく、一定値(exp(-γw))に近づきます。 (γは減少係数、冬の山ではフィットの結果はγ=0.025程度。w=7(一週間)。よって次の感染爆発が起こらなければ実効再生産数の漸近値は0.84程度。)
(February 22, 2021)
図の更新です。
- 次のoutbreakの最中のようです。ゴンペルツ関数をもう一つ足さないと説明できなくなりました。
  1月初旬のピークを除けば、ほぼ4ヶ月ごとのoutbreak発生 (4月、8月、12月、3月)。
- 水色の3本は陽性化確率減少率をγ=0.026, 0.04, 0.07 (それぞれ陽性化確率が26.7日、17.3日、9.9日で半減, 半減日数は (log_e2)/γ~0.7/γ) と変化させたものです。最も悲観的な値 γ=0.026 (国内での感染爆発中最小の冬のピークと同じ)と取ると陽性者がかなり出る(一番上の水色の1点鎖線)ことになりますが、ベストフィットでの値は γ=0.044 (15.8日で陽性化確率が半減)。比較的早く収まってくれると期待します。
  (ただしここ数日の陽性者増加でパラメータの更新が必要でした。 3/22までの[5]のデータに加えて、東洋経済[13]のデータを加えて再フィットした結果を載せています。 2週間程度は数値に気をつける必要がありそうです。春休みですが大人数でのマスク無し会食は避けましょう。)
- 今回の原因はなんでしょう？第1波(3-4月)のピークは欧州型のウィルス、また第2波(7-8月)のピークの一つの有力な要因は東京生まれの変異ウイルス [9]でしょう。国立感染症研究所での研究から、 3月中旬以降(6月まで)は欧州型のウィルスが、 6月中旬以降は欧州型から6塩基が変化した変異ウィルスが、国内クラスターの多くを占めているいることが知られているので、少なくとも結果としては間違いないと思います。 (この点は滑川さんが見つけてきました。論文[1]のAppendixで議論。)
  10月後半から立ち上がった第3波の広がりは上述のように冬の寒さが主要な原因かも知れません。ただし新たな変異ウィルス(20C)がアメリカから入っているとの研究[10]もあります。また6/29に見つかった日本型の変異種 (Clade 20B-T, B.1.1.284, [10]によれば関東地方では51.9%)に加えて、 11月以降の第3波では別の日本型変異種 (B.1.1.214, [10]によれば関東地方では31.7%) が京都府でも多数となっているとのこと [11]。
  3月からの第4波はイギリス株でしょうか？あるいは気の緩みが原因？もっと我慢しないといけないのでしょうか？
  Nextstrain.org [12]のアニメを見ていると、中国型(19A,19B), 欧州・東京型(20A,20B), イギリス型(20I)へと移っていく様子がよく見えます。 (同系列の20Bの間の移り変わりは分かりませんが。) 最近の増加(第4波)は最近のウィルスの半数以上を占めるイギリス変異種(20I)の広がりによるものと考えるのが自然なようです。
  第0波(1-2月, 中国型, 19A, 19B) ・第1波(3-4月, 欧州型変異種, 20B) ・第2波(7-8月, 日本型変異種, 20B, B.1.1.284) ・第3波(11-1月, 日本型変異種, 20B, B.1.1.214+インド型変異種, B.1.1.101など. [11]) が変異したウィルスが多くを占めていることと合わせると、第4波(3月-)はイギリス型(20I)がもたらしたものであり、「大きなoutbreakは変異ウィルスによってもたらされる」と推測します。
  Nextstrain.org でのスナップショット(2021-02-14--2021-03/22での割合)。オレンジ色がイギリス型(20I)を示す。
(March 26, 2021; March 28, 2021 変更)
更新です。残念なことに3月の予測を上回り、さらに「最も悲観的」と考えていた場合よりも陽性者数が増えました。 4/22までの陽性者数から予測すると、5月半ばに1月のピーク値程度の陽性者数がでそうです。陽性化確率減少率はγ=0.024±0.004。変異種(20I/501Y.V1)の感染力の高さのためと思われます。

(April 24, 2021)
更新です。前回の予測値よりも急速にPCR陽性者が減りました。 5月前半に1月のピーク値よりも少し小さい陽性者数でピークアウトして、減少傾向が顕著になっています。 6つのGompertz関数では記述できず、7つ目の項を加えました。現在の振る舞いはこれまでの傾向から見ればやや不自然な増加・減少が起こっています。ゴールデンウィーク中の検査・分析の減少による不規則性をなましたとしても、一つのピークがGompertz関数の微分で表せず、前後が対称なSigmoid関数の微分に近い形になっています。

(June 8, 2021)