コマの幾何学―可積分系講義―

Michele Audin著，高崎金久訳． 共立出版 2000年3月刊．A5判222頁，3500円，ISBN4-320-01655-6 ． 原著：Michele Audin: SPINNING TOPS - A course on integrable systems (Cambridge University press,1996)． [概要, 目次, 訂正]

概要

 可積分系は20世紀最後の20年あまりの間に， 数学とその関連諸科学においてきわめて重要な位置を 占めるにいたった概念である．可積分系の概念は様々に 拡張されて現在も盛んに研究されている． 本書はコマの運動方程式を通じて有限次元可積分系の 理論，特にその 幾何学的側面を紹介する，きわめて 特色ある本である．本文では有名な三人の数学者 Euler, Lagrange, Kovalevskaya のそれぞれの名を冠する三種類の 可積分なコマを軸に，さまざまな可積分系について具体的に 議論が展開される．それらの背景をなす一般的な理論は 付録に詳しく解説されている． 大学学部高学年から大学院修士課程にかけてのセミナーの 教材として最適であるが，研究者にとっても十分に読み応え がある．

目次
序章
1．完全可積分系
2．Arnold-Liouvilleの定理
3．方法序説
4．この本について
5．記号
I　固定点をもつ剛体
1．方程式
2．可積分性の問題
3．自由剛体とEuler-Poinsotの例
II　軸対称なコマ
1．軸対称なコマ入門
2．Lax対とその帰結
III　Kowalevskiのコマ
1．Kowalevskiの方法
2．Lax対とスペクトル曲線
3．一般化されたコマのLax対とその応用
IV　自由剛体
1．Euler方程式とManakov方程式
2．３次元自由剛体
3．４次元剛体についての諸注意
V　コンパクトでない等位集合〜戸田格子
1．微分方程式とスペクトル曲線
2．固有ベクトル写像〜n＝２の場合
付録
1．Lie代数の双対空間上のPoisson構造
2．R-行列と「AKSの定理」
3．固有ベクトル写像と流れの線形化
4．複素曲線，実曲線，およびそれらのJacobi多様体
5．Prym多様体

訂正

  1. p. ii, 10行目: 「南仏」は誤り．Strasbourgはドイツとの国境に面したアルザス地方にある．
  2. p. ix, 6行目：「Grifitth」→「Griffiths」
  3. p. ix, 11行目：「Reyman」→「Reiman」（原著の誤り）
  4. p. 1, Verneの小説「20世紀のパリ」（「20世紀のパリにて」よりもこの方が正しい）からの引用文：「接弦」→「接点を結ぶ弦」，「この種の定理の重要性は誰でも理解できるだろう」→「この種の定理の重要性は誰もが理解していた」．ちなみに，「20世紀のパリ」は1863年に書かれた小説で，100年後のパリを舞台にしているが，20世紀の技術と社会を驚くほど的確に予見している．原稿は結局出版社に拒否されてVerneの生前には公刊されず，金庫にしまわれたまま忘れ去られ，1991年になってVerneの曾孫によって発見された，という経緯をたどった．日本語訳が二つある（菊地有子訳，ブロンズ社，1995年，ISBN4893090976，および榊原晃三，集英社，1995年，ISBN487732177)．榊原氏の日本語訳では「重要性」（原語では l'importance）を「難しさ」と訳しているが，前後の話（ある高等教育機関の数学の試験問題について語っている）の流れから見れば確かにその方が自然なようにも思う．
  5. p. 4, 11行目：「C∞(V)」→「C∞(W)」
  6. p. 4, 下から2行目：「独立で」→「独立」
  7. p. 5, 5行目：「dHi(z)」→「dHi(x)」, 「Vi(x)」→「Xi(x)」
  8. p. 15, 11行目：「Griffith」→「Griffiths」
  9. p. 15, 12行目：「Reymann」 →「Reiman」
  10. p. 16, 下から2行目：「直裁」→「直截」(広辞苑参照)
  11. p. 17, したから3行目「Griffith」→「Griffiths」
  12. p. 20, 下から2行目：「コマ場合」→「コマの場合」
  13. p. 20, 下から1行目：「Reymann」→「Reyman」
  14. p. 28, 5行目：「Γ|→」（原著はこうなっている）は「Γ+εM |→」の方がよい
  15. p. 34, 3行目：「Arnolod」→「Arnold」
  16. p. 34, 下から5行目：「hp2」→「h/p2」（原著の誤り）
  17. p. 36, 8行目：「るか, あるいは」→「るとき, 言い換えれば」
  18. p. 40, 下から3行目：ここに現れる H,H',K は h,h',k が正しい（原著の誤り）
  19. p. 41, 12行目：「(c - K)2」→「(c - k)2（原著の誤り）
  20. p. 43, 6行目： 「(1 - γ3)2(h' - k2 - 2γ - 3)」→ 「(1 - γ32)(h' - k2 - 2γ3)」（原著の誤り）
  21. p. 47, 2行目：「Alder」→「Adler」
  22. p. 70, 12行目：C2 の C は太字に直す
  23. p. 76, 6行目：「(6)と(7）はそれぞれ」→「(7)と(6)はそれぞれ」（原著の誤り）
  24. p. 92, 12行目：「Kuznetov」→「Kuznetsov」
  25. p. 107, 下から1行目：「P3, P4」→「P2, P3」
  26. p. 137, 9行目：「Gp」→「G」
  27. p. 161, 下から7行目：「scyscraper」→「skyscraper」
  28. p. 173, 10行目：積分記号の前に総和記号 Σ が抜けている（原著の誤り）．
  29. p. 173, 7行目：積分記号の前に総和記号 Σ が抜けている（原著の誤り）．
  30. p. 178, 14行目：「…)R|」→「…)R)|」
  31. p. 185, 9行目：「奇遇」→「奇偶」