線形代数と数え上げ
高崎金久著，日本評論社
2012年6月刊行．A5判189ページ，2800円＋税，ISBN978-4-535-78680-6．
[概要, 目次,
訂正]
増補版2021年12月刊行．A5判216ページ，税込 3,190円，ISBN 978-4-535-78961-6．
増補版
幅広い応用をもつ「フック公式」を増補した．
概要
与えられた条件を満たすものの個数を求めることを「数え上げ」という．
数え上げ問題は組合せ論の古典的なテーマであり，高校数学でも
順列・組合せなどの話題を通じてその一端を紹介している．
高校で学ぶ数え上げの手法は素朴であるが，
今日の「代数的組合せ論」と呼ばれる分野では可換環論，有限群論，
表現論などからさまざまな代数的手法を取り入れている．
また，数理物理学やそれと関連する数学の諸分野においても
数え上げ問題は重要であり，近年は興味深い題材が数多く見出されている．
本書は雑誌『数学セミナー』で2010年4月号から2011年6月号にかけて
「線形代数と数え上げ」という表題で連載した記事の単行本化である．
この連載のテーマは行列や行列式など線形代数の道具を用いて
各種の数え上げ問題を扱うことだった．連載開始時には
平面分割・3次元ヤング図形の話を中心に据えて，
最後にごく簡単に完全マッチングの話を紹介する予定だったが，
連載途中で構想を練り直し，完全マッチングの話の後に
全域木の話を追加することにした．単行本化にあたっては，
平面分割・3次元ヤング図形の話を第I部に，
グラフ理論に関する話を第II部にまとめた．さらに，
入門的読者のために線形代数の基礎事項を，また，専門的読者のために
発展的話題の紹介を，それぞれ付録として新たに書き加えた．
なお，連載の初回・第10回・最終回を除けば，元の記事は
（必要な修正や訂正を行った以外は）ほぼそのまま収録している．
目次
第 1 部 3次元ヤング図形の数え上げ
第 1 章 平面分割と非交差経路
1. 3次元ヤング図形と平面分割
2. 平面分割と非交差経路
3. 非交差経路の数え上げ
第 2 章 LGV公式
1. 有向グラフに関する言葉と記号
2. LGV公式
3. 2本の非交差経路の場合の証明
4. 一般の場合
第 3 章 平面分割とシューア函数
1. 平面分割の重み付き数え上げ
2. シューア函数との遭遇
3. ヤング盤による解釈
4. ヤング盤のもう一つの見方
第 4 章 ヤコビ-トゥルーディ公式
1. シューア函数のヤング盤表示
2. 非交差経路和としての解釈
3. ヤコビ-トゥルーディ公式
4. もう1つのヤコビ-トゥルーディ公式
第 5 章 非交差経路とフェルミオン
1. ヤング図形とマヤ図形の対応
2. 非交差経路の粒子的描像
3. ヤング図形の成長過程
4. 歪シューア函数
第 6 章 ワイルの指標公式
1. 表現指標としてのシューア函数
2. 指標公式
3. 指標公式の導出
4. コーシー等式
5. 次元公式
第 7 章 マクマホンの公式
1. 箱入り平面分割の個数公式
2. 個数公式のq変形
3. マクマホン函数
4. 2項係数のq変形との関係
第 8 章 平面分割の対角断面
1. 対角断面
2. 対角断面と半標準盤の関係
3. 3つ組の数え上げ母函数
4. 長方形のヤング図形のシューア函数再論
第 9 章 平面分割と非交差閉路
1. デブライン閉路
2. 角転送行列
3. 小行列式の積の足し上げ
4. デブライン閉路と対角断面の関係
第 2 部 完全マッチングと全域木の数え上げ
第 10 章 ダイマー模型
1. 2部グラフの完全マッチング
2. タイル張りとの関係
3. ダイマー模型の定式化
4. カステレイン行列
第 11 章 カステレイン行列
1. ダイマー模型の定式化
2. 行列式の展開
3. マッチングの回転
4. 定符号条件が成立するための条件
5. 分配函数の行列式表示
6. 相関函数の行列式表示
第 12 章 有限正方格子上のダイマー模型
1. 2×n 格子の場合
2. 2×n 格子に対する行列 K
3. 対角化によって K の行列式を求めること
4. 一般のサイズの格子の場合
5. 2m×2n 格子の分配函数を求めること
第 13 章 パフ式とその使い方
1. パフ式とは何か
2. パフ式の基本的性質
3. ダイマー模型への応用
4. 非交差経路和への応用
第 14 章 全域木の数え上げ
1. グラフのラプラシアン
2. 木の数え上げ
3. 行列と木の定理の証明の概略
第 15 章 全域木と完全マッチングの対応
1. 正方格子グラフとその双対グラフにおける全域木の対応
2. 完全マッチングとの対応
3. G_m,n, G^*_m,n の全域木の数え上げ
付録 A 線形代数の道具箱
1. 置換
2. 行列式
3. 余因子
4. ヴァンデルモンド行列式
5. 固有値問題
6. コーシー-ビネ公式
7. フレドホルム展開公式
付録 B 発展的話題
1. 対称性をもつ3次元ヤング図形の数え上げ
2. 左右対称な3次元ヤング図形の数え上げ
3. トーラス上のダイマー模型
訂正
注意：以下ではHTMLで書くのが難しい表現を代替表示しています．
（例）a に上線をつけたものは a-，
波線をつけたものは a~で代用しています．
また，a の平方根は √a と表わしています．
- p. 58, 4行： det(h...) の ... の部分 「lj-n+j」
→「lj-n+i」
- p. 149, 脚注 3)：「ケイリーの友人」→「ケイリーとその友人」
- p. 182, 10-11行：「単調増加条件」→「単調減少条件」