トレース関数のモジュラー不変性

安部利之

大阪大学大学院理学研究科数学専攻博士課程後期２年

本講演では, 頂点作用素代数の加群に対して得られるトレース関数全体のなす空間のモジュラー不変性に関する Zhu の結果を紹介する ([Z] 参照).

組 (V, Y (· , z), 1, ω) を頂点作用素代数とする. ここで V はベクトル空間で, Y (· , z) は線形写像

Y (· , z) : V → (End V)[[z, z^{−1}]], a → Y (a, z) = ∑_{n∈Z} a_{n}z^{−n−1}

である. ω は Virasoro 元と呼ばれる V の元で, Y (ω, z) = ∑_{n∈Z} L(n)z^{−n−2} とおくと, {L(n); n ∈ Z} が V 上に Virasoro 代数の表現を与えるものである. また V は L(0) の作用に関し

V = ⨁_{n∈Z} V_{n}, V_{n} = {a ∈ V |L(0)a = na}

と固有空間分解している. V の元 a が L(0)a = na を満たすとき, a は斉次であるといい, n = wt(a) と書くことにする. 詳しい定義に関しては [FLM] もしくは [FHL] を参照して下さい. 頂点作用素代数 V の加群は次のように定義される.

定義 1 (M, Y_{M}(· , z)) が admissible V -加群であるとは, M はベクトル空間で, 線形写像

Y_{M}(· , z) : V → (End M)[[z, z^{−1}]],
a → Y_{M}(a, z) = ∑_{n∈Z} a_{n}z^{−n−1},

が存在し, 任意の a ∈ V, u ∈ M に対し次を満たすものである: (1)

Y (a, z)u ∈ M((z)),

(2) (Jacobi 恒等式)

z_{0}^{−1}δ (\frac{z_{1} − z_{2}}{z_{0}} ) Y_{M}(a, z_{1})Y_{M}(b, z_{2}) − z_{0}^{−1}δ (\frac{z_{2} − z_{1}}{−z_{0}} ) Y_{M}(b, z_{2})Y_{M}(a, z_{1})

= z_{2}^{−1}δ (\frac{z_{1} − z_{0}}{z_{2}} ) Y_{M}(Y (a, z_{0})b, z_{2}),

Y_{M}(1, z) = id_{V} ,

(4) 任意の斉次元 a ∈ V 及び m, n ∈ Z に対し,

a_{n}M_{m} ⊂ M_{wt(a)+m−n−1},

但し, 任意の n < 0 に対し, M_{n} = 0 とする.

頂点作用素代数の加群の定義は, 文献によって微妙な違いがある. ここでは, [DLM] の定義に従った.

次に, トレース関数のモジュラー不変性についてのべるために, いくつかの言葉を準備する:

定義 2 任意の admissible V -加群が完全可約となるとき, V は有理的であるという. また V の a_{−2}b (a, b ∈ V) で張られる部分空間 C_{2}(V) が V で有限余次元を持つとき, V は C_{2}-有限であるという.

トレース関数の定義について説明する. 今 (M, Y_{M}(· , z)) を admissible V -加群とし各 M_{n} は有限次元で, 更に M_{n} 上 L(0) は (h + n) id_{M_{n}} として作用しているものとする. この時, M の q-トレースを任意の a ∈ V に対し,

F_{M}(a, q) = Tr |_{M}o(a)q^{L_{0}− \frac{c_{V}}{24}}
= ∑_{n=0}^{∞}(Tr |_{M_{n}}o(a))q^{h− \frac{c_{V}}{24} +n} ∈ q^{h− \frac{c_{V}}{24}} C[[q]]  (1)

で定義する. ここで o は V の任意の斉次元 a に対し o(a) = a_{wt(a)−1} で定義し, それを V 上に線形に拡張して得られる線形写像 o : V → End V である. 次の定理は, Zhu の主要な結果のひとつである.

定理 3 [Z, Theorem 4.4.1] V を C_{2}-有限な頂点作用素代数とし, Virasoro 代数の加群として最高ウェイト加群の和で書けているとする. この時, 任意の admissible V -加群 M = ⊕_{n=0}^{∞}M_{n} で, dim_{C} M_{n} < ∞ (n ∈ N) かつ, ある h ∈ C が存在して L_{0} は M_{n} 上 (h + n) id_{M_{n}} と作用しているものにたいし, その q-トレース F_{M}(a, q) は任意の a ∈ V に対し, 領域 {|q| < 1} で収束し, その極限 F̃_{M}(a, q) は, {|q| < 1} 上定義されたある正則関数 f(q) が存在して,

F̃_{M}(a, q) = q^{h−c_{V} /24}f(q)

と表される.

従って, 任意の a ∈ V に対し,

S_{M}(a, τ) = F̃_{M}(a, e^{2πiτ})

と定義すると, 定理 3 より S_{M}(a, τ) は上半平面 H = {Imz > 0} で正則関数となることがわかる. この正則関数を a ∈ V に付随するトレース関数という. この時, 線形写像

S_{M} : V → F_{1} = {H 上の正則関数}, a ↦ S_{M}(a, τ)

が得られる.

最後に, トレース関数のモジュラー不変性について説明する. ベクトル空間 Hom_{C}(V, F_{1}) に次のように modular 群 SL_{2}(Z) の作用を定義する: 任意の線形写像 S ∈ Hom_{C}(V, F_{1})

及び L[0] に関する斉次元 a ∈ V に対し, 行列 ( \begin{matrix}α β \\ γ δ \end{matrix} ) ∈ SL_{2}(Z) の作用を,

S|_{A}(a, τ) = (γτ + δ)^{−wt[a]}S (a, \frac{ατ + β}{γτ + δ} )

で定義し, a に関し V 上に線形に拡張する. ただし Y (ω, e^{z} − 1)e^{2z} = ∑_{n∈Z} L[n]z^{−n−2} とおいた．

この時, 次の定理が成立する.

定理 4 ([Z, Theorem 5.3.2]) V を有理的な頂点作用素代数とし, C_{2}-有限で, Virasoro 代数の加群として最高ウェイト加群の和で書けているとする. また M^{1}, …, M^{d} を既約 V - 加群の完全なリストとする. この時,

(1) S_{M^{1}}, …, S_{M^{d}} は Hom_{C}(V, F_{1}) で線形独立である.

(2) S_{M^{1}}, …, S_{M^{d}} で張られる Hom_{C}(V, F_{1}) の部分空間は SL_{2}(Z) の作用で不変である.

参考文献

[DLM] C. Dong, H.-S. Li and G. Mason, Twisted representations of vertex operator algebras, Math. Ann. 310 (1998), 571-600.

[FHL] I. Frenkel, Y.-Z. Huang and J. Lepowsky, On axiomatic approaches to vertex operator algebras and modules, Mem. Amer. Math. Soc. 104 (1993).

[FLM] I. Frenkel, J. Lepowsky and A. Meurman, “Vertex Operator Algebras and the Monster”, Pure and Appl. Math., Vol. 134, Academic Press, Boston, 1988.

[Z] Y.-C. Zhu, Modular invariance of characters of vertex operator algebras, J. Amer. Math. Soc. 9 (1996), 237-302.