宇宙の構造と進化を研究する理論物理学者

冨田憲二 (とみた けんじ) 

     Kenji Tomita

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氏名: 冨田憲二

身分: 京都大学 名誉教授,  理学博士

学会: 日本物理学会 会員

最終勤務機関: 京都大学 基礎物理学研究所

住所:725-0025 広島県竹原市塩町3−6−24

電子メール: tomita@yukawa.kyoto-u.ac.jp

専門: 宇宙論、相対論

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経歴

 1937年7月16日 大阪市大正区泉尾にて誕生 

 1956年 大阪府立市岡高校卒業

 1961年 京都大学理学部物理学科卒業

 1964年 京都大学大学院理学研究科物理学専攻 博士課程中退

 1964年 広島大学 理論物理学研究所助手。その後、助教授、教授。

 1990年 京都大学 基礎物理学研究所教授。

 2001年 京都大学を停年退職。京都大学名誉教授。

 1993年以後、立命館大学(1993−2001年)、奈良産業大学(2001-2002年)、尾道大学(2004年−)等の非常勤講師。

 1991年『一般相対論研究のためのマルセル・グロスマン会議』(京都国際会館)にて、広島大学理論物理学研究所への「マルセル・グロスマン(団体)賞」の受賞にあたり、代表して授与。

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研究内容: 次の4項目に分けられるが、重複するところがある。引用する PL[No] は下記の論文リスト(Paper List) のもの。

1.宇宙論的な非一様性の一般相対論的取り扱い

a. 1次(線型)近似の重力不安定性

Lifshitz 重力不安定性理論の再構成(1)とその拡張としての熱不安定性理論の研究(2)から出発した。その後、ゲージ不変な方式を取り入れ、無衝突粒子と流体からなる一様等方宇宙のゲージ不変摂動を調べ(Kasai and Tomita)(3)、さらに、ビアンキ1型の非等方宇宙の不安定性を定式化した(Tomita and Den)(4)一様等方宇宙では、密度摂動、回転摂動、重力波摂動の3つのモードは独立で分離しているが、非等方宇宙では独立でなく、相互関連をもっていることを明確にした。一様等方宇宙では、また 、初期状態で、回転摂動をもちえないこと、物質が連続的な流体だけの運動をするなら、銀河や星に見られる回転運動が存在しえないことを示した(なんらかの不連続運動をしなければ、密度摂動から回転摂動が生じない ということ)(5)。さらに、インフレーション期の直後にあらわれると考えられる再加熱期での不安定性を調べた(Den and Tomita)(6)

(1) PL [6], (2) PL [7], (3) PL [44], (4) PL [46],  (5) PL [22],  (6) PL [41],

b.  2次近似の重力不安定性

1次(線型)近似の Lifshitz 理論を拡張して、2次の非線型性を扱う理論をつくった。これにより,1次での密度摂動から、2次で密度摂動とともに、重力波が発生すること、1次での回転摂動や重力波摂動からも、2次で 密度摂動や重力波が発生する ことを示した(1)。 この研究がもとになって、背景重力波が定量的に計算されるようになった(2)

1) PL [8,16,19], (2) K.N. Ananda et al. Phys. Rev. D75(2007), 123518; K.A. Malik and D. Wanda, Phys. Rep. 475(2009), 1-51.

c  球対称 非線形摂動

Lemaitre, Tolman and Bondi 解をつかって、球対称の宇宙論的摂動が膨張を脱して、重力的に bound される過程を調べ, bound される時刻での摂動物体の物質密度をもとめた(Tomita(1)(1969)) これは Gunn & Gott の有名な仕事(2)より3年早かった。

(1) PL [13、14],  (2) J.E. Gunn and J.R. Gott, ApJ 176(1972), 1.

d. 宇宙論的 ポスト・ニュートン 近似

ミンコフスキー時空を背景とするとき、重力定数G と光速度c に注目して、1/G, 1/c2     での摂動展開を行うと、最低次で、ニュートン力学の方程式系が導かれる。これらの展開の次の項を考慮する近似が、ポスト・ニュートン近似である。一様等方時空を背景とするときは、 宇宙膨張の特徴的長さ rc  (= c/ハッブル定数)) に比べて小さい長さ r のスケールの非一様性に注目する。そして、1/G, 1/c2, r/rc  についての展開を考える。最も低次の近似では、一様等方(膨張)宇宙を背景とする宇宙論的ニュートン近似の方程式系が導かれる。この展開の次の近似が、宇宙論的ポスト・ニュートン近似である。これに関する研究には、Tomita(1), Futamase(2), Shibata et al. (3) によるものがある。

(1) PL [49、64],  (2) T. Futamase, Phys. Rev. Lett 61(1988), 2175; MNRAS 237(1989), 187,  (3) M.Shibata and H. Asada, Prog. Theor. phys. 94(1995), 11-31.

e. 勾配(gradient) 近似、 反ニュートン(anti-Newton) 近似、 長波長(long-wavelength) 近似

宇宙の膨張とともに増大する2点間の距離は、膨張のスケールファクター a に比例する一方、宇宙時間 t  は a より早く増加する(t/a は時間とともに増大)。そのため、時間を過去へさかのぼれば、注目する2点間の距離は必ず、宇宙の特徴的長さ rc (〜ct) を超える。そのような時期以前では、(宇宙論的ニュートン近似やポスト・ニュートン近似で,  r/rc  についての展開を行ったのに対し) その逆数についての展開を考える近似が有効になる。このような近似が勾配(gradient) 近似、反ニュートン(anti-Newton) 近似、 長波長(long-wavelength) 近似である。反ニュートンとは、ニュートン近似に対し逆であることを意味している。私の研究(1)につづいて、多くの論文が発表された(2)

(1) PL [21,25,75],  (2) D.S. Salopek, Phys. Rev. D43(1991), 3214; D.S. Salopek and J.M. Stewart, Phys. Rev. D47(1993), 3235; J. Parry et al.  Phys. Rev. D49(1994), 2872; G.L. Comer et al. Phys. Rev. D49(1994), 2759; A. Taruya and Y. Nambu, Prog. Theor. Phys. 95(1996), 295; Y. Nambu, Phys. Rev. D62(2000), 104010; T. Chiba, GRG 28(1996), 1089.

f. 原始的カオスと一様化

勾配 近似等の項目で述べたように、時間を過去へさかのぼれば、一様等方(膨張)宇宙では注目する2点は情報が伝わる距離より大きかったことになる。そこで、もし、宇宙初期に、インフレーションがなかったか、インフレーションがあっても、その効果が十分でなかったなら、現在の宇宙の多くの部分は情報のレンラクヲもたずに創成されたことになる。そのような場合、初期の宇宙は 一様等方の状態から著しくずれたカオス (chaos) の状態であったはずである。これを 原始的カオス (primordial chaos) , その非一様性を primordial irregularities と呼ぶ。この非一様性は膨張とともに減少して、一様等方状態に近づく。この過程を上記の勾配 近似等をつかって取り扱った(PL [21],[23],[25],[27],[28],[72])

また、初期のカオス状態の時空が、空間的(space-like)特異性だけでなく、 時間的(time-like)特異性をもつ場合について、時空の構造を調べた(PL [29])。

2.観測的宇宙モデルの選定のための基礎

a.  nonzero-Λ 一様等方宇宙モデルと宇宙年齢

1960年、Sandage(1) は 宇宙定数Λがzeroの 一様等方宇宙モデルの観測的選定について有名な論文を発表した。そのとき,主に 赤方偏移と等級についての銀河データにもとづいて選定を行った。 Tomita and Hayashi(2)(1963) は主に宇宙年齢と星の年齢の比較に注目して、nonzero-Λ 一様等方宇宙モデルの選定を行い、nonzero-Λ 宇宙モデルの必要性を示した。それは、Λ がzero ならば、その当時のハッブル定数(〜75km/Mpc/sec)をつかった宇宙の年齢が、古い星の年齢より小さくなることによる。その後、Stabell and Refsdal(3) (1966年)、Solheim(4)(1966年), Refsdal et al.(5)(1967年)の仕事が続いて、nonzero-Λ モデルの研究が盛んに行われた。また一様非等方宇宙モデルの場合についても(選定に使うべき)観測量の間の理論的関係を導いた(6)

(1) A. Sandage ApJ 133(1961), 355;  (2) K. Tomita and C. Hayashi, PL [1];  (3) Stabell and Refsdal, MNRAS  132, 379 (1966); (4) Solheim MNRAS 133, 321 (1966); (5) Refsdal et al., MemRAS 71, 143(1967); (6)  K. Tomita, PL [10]

b.  重力レンズ効果

星、銀河、銀河団、ボイドのような非一様物質分布の中を、光が通過するとき、光の通路が曲がる重力レンズ効果 が生じる。この効果によって、遠くの天体の像がゆがむが、宇宙背景輻射(CMB)の温度摂動にも影響を及ぼす。非一様な物質分布のモデルを解析的にまたは、N体シミュレーションの方法によって作り、 その中の光の通路を計算すること(ray-shooting)により、 これらのゆがみと温度摂動への影響を定量的に調べた(PL [54,55,56,57,58,67,73,76,86])。

c.  角長径距離の統計

宇宙論的観測において、天体の光度や視長径を求めるために、距離が重要な役割を果たすが、光の伝播を通して定義されるため、物質分布の非一様性によって、距離も一様宇宙のもの(dF) とは異なってくる。もっとも極端なものは、真空領域を通過してくる光によって定義される距離(Dyer-Roeder 距離 dDR) である。光の通路がどの程度の非一様性をもつかによって、dF からずれて、どの程度 dDR に近づくかがきまる。上記のN体シミュレーションによってつくった非一様宇宙モデルにおいて、ray shooting の方法により、多くの光線を発生させて、この距離の統計を調べ、どの程度ずれるかを調べた(PL [87,88,89])。

d.  ISW(積分ザックス・ボルフェ)効果

一様宇宙の中を通過する光は波長の赤方偏移(z)を受け、宇宙背景輻射(CMB)の温度は 1/(1+z) だけ小さくなる。ただし z は放射時と観測時との間の赤方偏移である。非一様宇宙においては、途中の非一様性のもつ重力ポテンシャルの影響による付加的な赤方偏移が生じる。これがISW(積分ザックス・ボルフェ)効果 である。これに関する(一様等方宇宙での)線型近似の取り扱いの仕事としては、Tomita and Tanabe(1)(1983)がある。 負曲率をもつ一様宇宙での重力波またはテンソル摂動の波数展開に必要な調和関数を導いた(Tomita(2)(1982)).  また 2次近似の非線形摂動近似でのISW効果(Rees-Sciama 効果)を扱ったものとして Tomita(3) (2005), Tomita and Inoue(4)(2008)がある。 さらに、後記の巨大ボイドをもつモデルでの2次近似ISW効果を扱ったものとして、Tomita and Inoue(5)(2008)がある。 これらの非線形摂動がもたらすCMBへの影響は、non-Gaussian effect として注目される。

(1) PL [37], (2) PL [36], (3) PL[102,103,104],  (4) PL [105], (5) PL [107],  

 

3.巨大ボイドと宇宙加速

巨大ボイドとは、ここでは、100Mpc 以上の半径をもつ球対称な低密度領域で、われわれ観測者がその中心近くにいると仮定するものである。その主な動機は従来ハッブル定数の測定値が不確定で、近くの天体を使って測定した(ボークルールたちの) 値が遠くの天体を使った(サンデージたちの)値より、30%ぐらい大きかったこと、そして、低密度ならば、一般に膨張速度が大きくなることによる。

まず、1994年には、巨大ボイドの境界を、 z= 1.5 〜 2 のあたりにあると仮定して、超地平線(super-horizon) モデルをつくった(1)。 このような境界を考えたのは、QSO(クエーサー)の個数分布がこのあたりの赤方偏移で、急に変わることを説明しようと考えたからである(現在では、個数分布の変化はQSOの進化の結果であると考えるのが定説である)。

その後、数百Mpc の長さにわたる銀河・銀河団の大規模流のあることが、スミスたちの観測研究によって示され、それに対する理論的説明を動機として、数百Mpc の巨大ボイドを考えることになった。このモデルにおいて、大規模流はボイドの中心からずれた観測者(off-center) から見た(内と外の)相対運動の双極性(dipole motion) として説明できた。

ところで、1998年、リースたち(2) とパールムッターたち(3)の2つの研究グループによって、高赤方偏移(high-redshift)の 1a型超新星の「赤方偏移ーみかけ光度」関係が観測 をとおして求められた。この超新星の絶対光度は正確に決められるので、この関係により、宇宙モデルが正確に選定できることになった。これにより、宇宙が一様等方なら、宇宙定数が nonzeroで、その真空エネルギーはダークマターを含む物質密度エネルギーを凌駕するものであることがわかった。また、宇宙の物質は現在、加速膨張していることになった。

これに対して、私は境界の半径を 300Mpc程度とする巨大ボイドモデルにおいて、 理論的な「赤方偏移ーみかけ光度」関係を調べ、宇宙定数がzero でも、ハッブル定数が内と外とで異なっていると仮定すれば、観測的な「赤方偏移ーみかけ光度」関係を説明できることを示した。つまり、宇宙全体が加速膨張しているのではなくて、超新星が巨大ボイドの内にあることにより、外の世界に対して加速膨張しているように見えるという可能性があることを示した。 このモデルでは、また、上記の大規模流を同時に説明する可能性があった(4)  最初の論文[90,91]を発表したとき,ほぼ同時に、Celerier(5) やGoodwin et al.(6) が同様の趣旨の論文を発表した。しかし、私の論文の方が少し早く、しかも具体的なtop-hatモデルをつかって、[赤方偏移ー見かけ光度]関係を導いていた。

その後、宇宙定数凌駕モデル(Λ dominated model)  は観測を最もよく説明できるモデルとして、標準モデルとみなされてきたが、観測が求めるような値の宇宙定数の理論的根拠を説明することが不可能なため、異なった宇宙モデルとして、 (宇宙定数がゼロで)巨大ボイドを含むモデルが注目され、多くの研究者によって研究されてきた。しかし、WMAPによるCMBの温度ゆらぎの観測やバリオン音響振動(baryon acoustic oscillation)の観測の 精密な結果が発表され、巨大ボイドの境界を 300Mpc 程度にする簡単なモデルで記述することが不可能であることがわかった。それで、今では、境界を 1Gpc 程度になるような、より一般的なLemaitre, Tolman and Bondi (LTB) モデルを採用することになっている。(7)

(1) PL [77,79,81,82,84,85], (2) B. Schmidt et al. ApJ 507(1998), 46; A. Riess et al. Astron. J. 116(1998), 1009; Riess et al. Astron. J. 118(1999), 2668,  (3) Perlmutter et al., ApJ 517(1999), 565,  (4) PL [90,91, 92,94,95,96], (5) M.N. Celerier, Astron. Astrohys. 353(2000), 63; New Adv. Phys. 1(2003), 2, (6) Goodwin et al. astro-ph/9906187 (unpublished), (7) PL [106].

4.その他の研究

a. 自己相似(self-similar) 時空

一様時空では、時空の幾何学的性質は,時間 t のみの関数で、空間的変数に依らない。これに対して、非一様な球対称の時空の場合は、一般に動径座標 r によるが、特別な場合として、t と r の比 u (= t/r) にのみ依存するという時空がある。これを「自己相似 (self-similar) 時空」という。球対称時空の場合、物質の圧力がゼロならば、厳密の解析解(Lemaitre,Tolman and Bondi 解)が存在するので、これにより、非一様性の一般的性質を調べることができる。しかし、解くべき方程式が偏微分方程式となるので、解の振る舞いを簡単に見通せないし、その摂動を調べるのは用意ではない。それで、上記の 自己相似時空 に限れば、扱う方程式が u についての常微分方程式に帰着するので、一様時空のように解析することができる。このような考え方から、球対称自己相似解の拡張と摂動の問題を扱った (PL [84,85])。また、球対称からずれた場合についての部分的自己相似時空(partially self-similar) を調べた(PL [32,33])が、後に、それらが一様時空の帰着できることを示した(PL [13])。

b.  位相欠陥物質が凌駕する宇宙

インフレーションに伴って発生する位相欠陥物質賭して、ストリング(cosmic string), ドメイン・ウォール(domain wall) などがある。まず、ドメイン・ウォールが孤立して存在する場合の時空の厳密解を、ウォールが薄い (thin) 場合(1)と厚い(thick) 場合(2)について導いた。次に、欠陥物質が一様に分布する場合の状態方程式を仮定して、その物質が凌駕する宇宙における観測的関係(赤方偏移と見かけの光度の関係など)を導いた(3)。また、ドメイン・ウォールがもたらす重力レンズ効果も調べた(4)

(1) PL [43],  (2) PL [59],  (3) PL [60],  (4) PL [63]

c  高次元時空の中の4次元宇宙

われわれの4次元時空からなる宇宙が、より高い次元をもつ高次元時空の中の1部分であるという考え方が、1980年代中頃から,素粒子物理学の進展とともに,見直され,それにに関する宇宙論的問題が盛んに議論された。私たちは、まず、成相(Nariai) 解の拡張として、ダイナミックな多次元真空解(宇宙定数を含む)を導いた(PL [38])。つぎに、多次元(Kalza-Klein) 宇宙におけるエントロピー生成の可能性を示した(PL [42])。

d.  宇宙背景輻射(CMB)の温度ゆらぎについて

杉山直を中心とするCMBの温度ゆらぎについての研究で、等曲率(isocurvature) の熱いダークマターを含む宇宙での温度ゆらぎを扱ったもの(1), および、井上太郎を中心とする研究で、(コンパクトな周期的境界条件をもつ)開いた低密度宇宙におけるゆらぎと周期性がもたらす観測的特長を調べた(2)

 (1) PL [53],  (2) PL [93], 

e  再規格重力理論 or Modified gravity での宇宙モデル

一様等方宇宙には、一般に初期状態に特異点が存在する。成相秀一は特異点をもたない宇宙モデルを導くため、重力理論の作用原理の作用を、スカラーリッチ R から R の何らかの関数へ変更することを試みた。つまり、重力エネルギーによる特異点除去を試みた。その研究の一環として、作用がR の2乗である場合に、わたしは研究をともにした(PL [17,30])。その後、インフレーションの起源の問題において、このような関数の作用をもつ宇宙モデルが考えられた。最近では、関数型を工夫して、宇宙加速を説明することが行われている。

f. 宇宙乱流

ワイゼッカーの宇宙乱流説の定式化を目指して、成相秀一が宇宙乱流の理論を展開したが、1970年代前後に、銀河形成の道筋の1つとして、宇宙乱流説が取り上げられ、成相秀一、佐藤文隆、松田卓也等と 共に研究を行った(PL [15,18])

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研究会関係:   2007年以後

2007年12月 JGRG 研究会(名古屋大学) talk title : On the second-order ISW effect

2008年2月  超弦宇宙論 研究会 (尾道)  no talk

2008年10月 JGRG 研究会(広島大学)  no talk

2008年12月 "Is our Universe really undergoing an accelerative expansion ?" 研究会  (KEK, つくば)         talk title : On astrophysical explanations due to cosmological inhomogeneities for the observational acceleration (cf 研究論文[106])

2009年3月  "Nonlinear cosmological perturbations" 研究会(京大基研)                 talk title : Relativistic second-order nonlinear perturbations and CMB anisotropies in flat cosmological models

2009年10月  "Lambda-LTB cosmology" 研究会(KEK, つくば)                              talk title : Perturbations and the integrated Sacks-Wolfe effect in a self-similar LTB cosmological model  (cf 研究論文[108])

上記のKEKでの研究会の参加者 (KEKでの研究会にて、2009)  左より Marra, ...., Clifton, Szapudi, Blomquist,

高橋, 冨田、斉藤., 坂井、小玉、横山、辻川、永田, 井上, 甲斐., 柳、石橋

井上太郎さんと私 (KEKでの研究会にて、2009)

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著書

 『宇宙の起源99の謎』(サンポージャーナル 1978年)

 『相対性理論』(丸善出版 1990年)

 『一般相対論的宇宙論』(成相秀一との共著,掌華房 1988年)

外部リンク

 「広島大学理論物理学研究所についての記録」 (http://www2.yukawa.kyoto-u.ac.jp/~tomita/rrk.html にて提示;  また 京都大学基礎物理学研究所の紹介 http://www.yukawa.kyoto-u.ac.jp/contents/about_us/history.html の中で も掲載) 

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論文リスト (Paper List) :

[1] K. Tomita and C. Hayashi, Prog. Theor. Phys. 30(1963),691-699.
The Cosmical Constant and the Age of the Universe.

[2] H. Nariai and K. Tomita, Prog. Theor. Phys. 33(1965),322-333.
On the Gravito-C Field in an Empty Region with Spherical Symmetry.

[3] H. Nariai and K. Tomita, Prog. Theor. Phys. 34(1965),155-172.
On the Problem of Gravitational Collapse.

[4] H. Nariai and K. Tomita, Prog. Theor. Phys. 34(1965),1046.
A Simple and Well-Adjusted Exterior Metric.

[5] H. Nariai and K. Tomita, Prog. Theor. Phys. 35(1966),777-785.
On the Applicability of a Dust-like Model to a Collapsing or
 Anti-Collapsing Star at High Temperature.

[6] H. Nariai, K. Tomita and S. Kato, Prog. Theor. Phys. 37(1967), 60-74.
On the Gravitational Instability in an Expanding Universe ----
Reformulation of Lifshitz' Theory.

[7] S. Kato, H. Nariai and K. Tomita, Publ. Astron. Soc. Japan  19(1967), 
130-139.
On the Thermal Instability in an Expanding Universe.

[8] K. Tomita, Prog. Theor. Phys. 37(1967), 831-846.
Non-Linear Theory of Gravitational Instability in the Expanding Universe.

[9] H. Nariai, K. Tomita and M. Hayakawa, Prog. Theor. Phys. 39(1968), 
601-618.
On the Spectral Shift of Light Rays Emitted from a Pulsating Object.

[10] K. Tomita, Prog. Theor. Phys. 40(1968), 264-276.
Theoretical Relations among Observable Quantities in an Anisotropic and
 Homogeneous Universe.

[11] H. Nariai and K. Tomita, Prog. Theor. Phys. 40(1968), 679-680.
On a Perfect-Fluid Sphere with Uniform Density.

[12] K. Tomita and H. Nariai, Prog. Theor. Phys. 40(1968), 1184-1185.
An Oscillating Perfect-Fluid Sphere with Uniform Density.

[13] K. Tomita, Prog. Theor. Phys. 42(1969), 9-23.
Formation of Gravitationally Bound Primordial Gas Clouds.

[14] K. Tomita, Prog. Theor. Phys. 42(1969), 978-979.
Formation of Gravitationally Bound Primordial Gas Clouds II.

[15] K. Tomita, H. Nariai, H. Sato, T. Matsuda and H. Takeda,
Prog. Theor. Phys.  43(1970), 1511-1525.
On the Dissipation of Primordial Turbulence in the Expanding Universe.

[16] K. Tomita, Prog. Theor. Phys. 45(1971), 1747-1762.
Non-Linear Theory of Gravitational Instability in the Expanding
  Universe II.

[17] H. Nariai and K. Tomita, Prog. Theor. Phys. 46(1971), 776-786.
On the Removal of Initial Singularity in Terms of a Renormalized Theory
 of Gravitation II.

[18] H. Nariai and K. Tomita, Prog. Theor. Phys. Supplement 49(1971), 83-119.
Formation of Proto-Galaxies in the Expanding Universe and
 Gravitational Instability.

[19] K. Tomita, Prog. Theor. Phys. 47(1972), 416-443.
Non-Linear Theory of Gravitational Instability in the Expanding Universe III.  

[20] K. Tomita, Prog. Theor. Phys. 48(1972), 78-103.
Gravitational Collapse of a Rotating Star --- Formulation I. 

[21] K. Tomita, Prog. Theor. Phys. 48(1972), 1503-1516.
Primordial Irregularities in the Early Universe.

[22] K. Tomita, Publ. Astron. Soc. Japan  25(1973), 287-290.
On the Origin of Galactic Origin.

[23] K. Tomita, Prog. Theor. Phys. 50(1973), 1285-1301.
Element Formation in a Chaotic Universe.

[24] K. Tomita, Prog. Theor. Phys. 52(1974), 1188-1204.
On the Non-Linear Behavior of Nonspherical Perturbations in
 Relativistic Gravitational Collapse.

[25] K. Tomita, Prog. Theor. Phys. 54(1975), 730-739.
Evolution of Irregularities in a Chaotic Universe.

[26] K. Tomita and N. Tajima, Prog. Theor. Phys. 56(1976), 551-560.
On the Non-Linear Behavior of Nonspherical Perturbations of the 
 Schwarzschild Metric. 

[27] K. Tomita, Nuovo Cimento 35B(1976), 308-320.
On Inhomogeneous Models of the Early Universe.

[28] K. Tomita, "Cosmology, History and Theology" (Proceedings of
 Third International Colloqium at Denver University held in 1974, Plenum Press, 1977), 131-139. 
On a Chaotic Universe.

[29] K. Tomita, Prog. Theor. Phys. 59(1978), 1150-1169.
On Inhomogeneous Models Containing Space-like and Time-like
 Singularities Alternately.

[30] K. Tomita, T. Azuma and H. Nariai, Prog. Theor. Phys. 60(1978), 403-413.
On Anisotropic and Homogeneous Models in Renormalized Theory of
 Gravitation.

[31] K. Tomita, Publ. Astron. Soc. Japan  32(1980), 179-184.
Entropy Perturbations in Low-Density Universe Models.

[32] K. Tomita, Prog. Theor. Phys. 66(1981), 2025-2037.
Partially Self-Similar Solutions in General Relativity.

[33] K. Tomita, Prog. Theor. Phys. Supplement 70(1981), 286-300.
Partially Self-Similar Spacetimes and Fluid Motions.

[34] K. Tomita, Prog. Theor. Phys. 67(1982), 1076-1092.
Primordial Irregularities in an Early Universe with Vacuum Phase
 Transition.

[35] K. Tomita, Prog. Theor. Phys. 67(1982), 1093-1106.
Galaxy Formation in the Neutrino Dominated Universe.

[36] K. Tomita, Prog. Theor. Phys. 68(1982), 310-313.
Tensor Spherical and Pseudo-Spherical Harmonics in Four-Dimensional
Spaces. 

[37] K. Tomita and K. Tanabe, Prog. Theor. Phys. 69(1983), 828-841.
Large-Scale Anisotropy of the Cosmic Background Radiation due to
 Primordial Density and \break Gravitational-Wave Perturbations.

[38] K. Tomita and R.T. Jantzen, Prog. Theor. Phys. 70(1983), 886-887.
Reduction of Partially Self-Similar Spacetimes to Self-Similar Ones
 in General Relativity.

[39] K. Tomita, Proc. Workshop on Grand Unified Theories and
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Second-order gravitational effect of local inhomogeneities on CMB 
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Cosmological models with the energy density of random fluctuations and
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Super-horizon second-order perturbations for cosmological random 
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