中点公式での誤差

● 中点公式での誤差について

関数のテイラー展開と積分
関数 $f(x)$ が積分区間中の点 $x_i$ のまわりで次のように展開出来たとしましょう。

$f(x) = \sum_n^\infty {1\over n!} f^{(n)}(x_i) (x-x_i)^n$
このとき、 $x_i$ のまわりの小さい区間 $[x_i-\Delta/2, x_i + \Delta/2]$ での積分は $\Delta^n$ で展開できます。

${\displaystyle S_\Delta = \int_{x_i-\Delta/2}^{x_i+\Delta/2} f(x) dx = \sum_{n... ...n)}^\infty {2\over (n+1)!} f^{(n)}(x_i) \left({\Delta \over 2}\right)^{n+1} }$
小さくない区間 $[a,b]$ での積分も、次のように $N$ 分割して考えることができます。

${\displaystyle S = \int_a^b f(x) dx = \sum_{i=1}^N \int_{x_i-\Delta/2}^{x_i+\Delta/2} f(x) dx }$
${\displaystyle S = \int_a^b f(x) dx = \sum_{i=1}^N \sum_{n=0, 2, ... (even)}^\infty {2\over (n+1)!} f^{(n)}(x_i) \left({\Delta \over 2}\right)^{n+1} }$

ここで $x_i$ は $i$ 番目の短冊の中点です。
中点公式と誤差
さて、中点積分公式では中点 $x_i$ での関数値のみを用いるので、上の式で $n = 0$ の項だけをとったものに対応しています。

${\displaystyle S \mbox{(中点)} = \sum_{i=1}^N {2\over 1 !} f(x_i) \left({\Delta \over 2}\right) = \sum_{i=1}^N f(x_i) \Delta }$
中点積分公式での誤差は $n = 2, 4, 6, ...$ の項の和となるので、 $\Delta \to 0$ の極限では $n = 2$ の項が主要項となります。

${\displaystyle \Delta S \mbox{(中点)} = \sum_{i=1}^N \left( {2\over 3 !} f^{(... ...ght) = {1\over 24}\Delta^3 \sum_{i=1}^N f^{(2)}(x_i) + N {\cal O}(\Delta^5) }$
ここで関数 $f$ の２階微分の和を平均と平均と項数 $N$ で書き直し、 $N = (b-a)/\Delta$ を用いると誤差が $\Delta^2$ に比例することが分かります。

${\displaystyle \Delta S \mbox{(中点)} = {1\over 24}\Delta^3 N <f^{(2)}> + (b-a... ...O}(\Delta^4) = {(b-a) \over 24}\Delta^2 <f^{(2)}> + (b-a) {\cal O}(\Delta^4) }$
誤差評価の例外
このへの比例は次の２点が前堤となっています。
1. 積分区間で関数がテイラー展開可能であり区間内で発散が無いこと。
2. 関数の２階微分の和がに比例して大きくなること。
これらの前堤は、例えば次のような場合には崩れます。
1. 積分の端点で関数が発散している場合、
2. あるいは積分の端点での関数の微分値が等しい場合 ( $f'(a)=f'(b)$ )
前者の場合には発散を含む一つの短冊での積分誤差が後の短冊での誤差の和をこえる程大きくなってしまい、発散の程度がこの一つの短冊での積分誤差のみで決ってしまいます。
後者の場合には
${\displaystyle \sum_{i=1}^N f^{(2)}(x_i) \simeq \int_a^b f^{(2)}(x) dx = f'(b)-f'(a) = 0}$ となるため、「偶然」にに比例する項が 0 となってしまうのです。
２重指数関数公式は、この打ち消しの性質を利用して誤差の少ない積分を実現するものです。一方シンプソン公式では区間の端点の値を利用してに比例する項をあらわに消すように工夫されています。

この文書について...

Akira OHNISHI
平成14年11月7日