\documentstyle[psfig]{article}
\begin{document}
\title{微分方程式の解き方}
\author{数野一平 \\ 北海道大学}
\date{\today}
\maketitle
\section{変数分離型}
次のような形をもつ微分方程式を解いてみよう。
\[
{dy \over dx} = f(x) g(y)
\]
この微分方程式の特徴は、右辺が $x$ の関数と $y$ の関数の積で
表されていることであり、「変数分離型」と呼ばれます。

変数分離型の微分方程式は、左辺と右辺に $y$ と $x$ の関数を
「分離」することによって解くことが出来ます。
\[
{1\over g(y)} {dy \over dx} = f(x)
\]
これではまだ分離されているように見えませんが、
左辺は $x$ で積分すると $y$ の積分に置き直せることがわかりますね。
\[
\int {1\over g(y)} {dy \over dx} dx = \int f(x) dx
\to \int {1\over g(y)} dy = \int f(x) dx
\]
この両辺の不定積分が実行でき、
かつこれを $y$ について解くことができれば、
微分方程式が解けたことになります。


\subsection{具体的な例}

さて、例として次の微分方程式を解いてみましょう。
\[
	{dy \over dx} = {y \over 2x}
\]
説明にある通り、変数分離を行います。
\[
	\int {dy \over y} = \int {dx \over 2x}
\to	\log |y| = {1\over 2} \log |x| + C
\]
ここで $C$ は不定積分に伴う積分定数です。
これを $y$ について解くと、解が得られます。
\[
	y = \pm \exp C \sqrt{x} = A \sqrt{x}
\]
$\pm \exp C$ を改めて $A$ とおき直しています。

微分方程式の解に現われる積分定数は、
通常、初期条件によって決まります。
例えば $y(1) = 1$ の場合には、両辺に $x = 1, y = 1$ を代入して
$A=1$ と決まります。
 
下の図に、この微分方程式の解のグラフを示します。
点が数値的に解いた答え、実線が $y = \sqrt{x}$ です。

\psfig{figure=prog04.ps,width=5cm}

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