1996.3.1

ゲージ場の量子論 II 訂正

221 ページ 18 行目の「今度の場合, 前と異なり, ...」から、 224 ページ 3 行目の「... の最終表式である。」までを、次のように書き換えます。

今度の場合, 前と異なり, NG ボソン変数 U(x) ∈ G は, ゲージ群 G_{R}×G_{L} ≃ G × G の元の半分しかない。そこで, G_{R}か G_{L}のどちらか一方のカイラル変換だけを次々に行なっていって, U(x) を 1 まで持っていくことにする。ここでは G_{R}で行なうことにすれば, 前の (8)∼(12) と同様にして次式を得る:

Γ [1, A_{R}^{U^{−1}}, A_{L}] − Γ [U, A_{R}, A_{L}]
= −\frac{iN}{24π^{2}} ∫_{M^{4}×I} ω_{4}^{1}(Ũ(t)δŨ^{−1}(t), A_{R}^{_{U}(t)U^{−1}}).  (26)

今度の場合, “積分定数項” Γ [1, A_{R}^{U^{−1}}, A_{L}] は, 残念ながら, カイラル・ゲージ不変でないので落とすわけにゆかない。実際, カイラル・ゲージ変換 (24) の有限変換で, U は, U → U′ = h_{R}Uh_{L}^{−1} (h_{R} ∈ G_{R}, h_{L} ∈ G_{L}) と変換するから, A_{R}^{U^{−1}}, A_{L}はそれぞれ

(A_{R}^{U^{−1}})′ = (A_{R}^{h_{R}})^{h_{L}U^{−1}h_{R}^{−1}} = A_{R}^{h_{L}U^{−1}} = (A_{R}^{U^{−1}})^{h_{L}}
(A_{L})′ = (A_{L})^{h_{L}}  (27)

なる変換を受ける。 [ ここで (A^{g_{1}})^{g_{2}} = A^{g_{2}g_{1}} を用いた。 ] (27) 式は, A_{R}^{U^{−1}} と A_{L}が共に h_{L}で変換されること, すなわち, 右・左共通の “ベクトル的”ゲージ変換 h_{V} = h_{L} を受けることを意味している。それゆえ, Γ [1, A_{R}^{U^{−1}}, A_{L}] の関数形を決めるには, Γ [1, A_{R}, A_{L}] の “ベクトル的”ゲージ変換の無限小形 v_{R} = v_{L} = v の下での変換性のみを調べればよい。この変換の下で, U(x) = 1 は不変にとどまるから, Γ [1, A_{R}, A_{L}] は (25) より

δΓ [1, A_{R}, A_{L}] = −\frac{iN}{24π^{2}} ∫_{M^{4}} [ω_{4}^{1}(v, A_{R}) − ω_{4}^{1}(v, A_{L})]  (28)

を満たす。ところが, この式は, よく見れば 9 - 2 に与えた Bardeen の相殺項（の逆符号のもの） − ∫ Y(A) の満たす式と同一である。なぜなら, 9 - 2 (35) （の −iN/24π^{2} 倍）で, ベクトル的変換の場合に対応して C_{1R} = C_{1L} = v と置いて v の一次項の∫_{M^{4}} 積分を見れば, 左辺が (28) の右辺に一致し, 右辺は第一項が C_{1R} − C_{1L} = 0 で消え第二項が − ∫ Y(A) の BRS 変換 δ となるからである。それゆえ,

Γ [1, A_{R}, A_{L}] = − ∫ Y(A_{R}, A_{L})
+ （ベクトル的ゲージ変換で不変な項） (29)

が成り立つ。ここで A_{R}, A_{L} に A_{R}^{U^{−1}}, A_{L}を代入すれば, カイラル・ゲージ変換は A_{R}^{U^{−1}}, A_{L}に対しベクトル的ゲージ変換 (27) となるから, − ∫ Y(A_{R}^{U^{−1}}, A_{L}) 以外の項は, カイラルゲージ不変な斉次方程式 δΓ = 0 の解となり, 落としてよいことがわかる。したがって, (25) の特解Γ_{WZW}[U, A_{R}, A_{L}] は, − ∫ Y(A_{R}^{U^{−1}}, A_{L}) −[(26) 右辺] で与えられる。 (26) の右辺に対してさらに, 前の (14) から (23) に至る変形を行えば,

Γ_{WZW}[U, A_{R}, A_{L}]

= \frac{iN}{24π^{2}} \{ ∫_{M^{4}} [α_{4}(dU · U^{−1}, A_{R}) − (\frac{24π^{2}}{iN} )Y(A_{R}^{U^{−1}}, A_{L})]

+\frac{1}{10} ∫_{M^{4}×I} tr[(U^{−1}(x, t)(d + δ)U(x, t))^{5}]\} (30)

が得られる。ただし U(x, t) ∈ G は, U(x, 0) = 1 と U(x, 1) = U(x) とをつなぐ任意の経路である。

G_{R}変換のみを利用して求めたこの表式 (30) は, 右・左の入れ換え — パリティ共役変換

A_{R} ⟷ A_{L} , U ⟷ U^{−1}  (31)

の下での（反）対称性が明白ではない。しかしながら, (21) のα_{4}および 9 - 2 (37) の Y の表式を用いて (30) をあらわに A_{R}, A_{L}, U で書き表してみれば, 次のような（反）対称性の明白な表式が得られる^{†}:

（変更無し）  (32)
（変更無し）  (33)

ただし, p.c. は前項にパリティ共役変換 (31) を行って得られる項を表し, d はすぐうしろの項のみを微分するものとする。 (32), (33) がカイラル群の場合の Wess-Zumino-Witten 項の最終表式である。

277 頁の略解 9.8 を次のように書き換えます。

9.8 9 - 3 (32) の −Z （負号に注意）への, それぞれの項の寄与は,

α_{4}(V, A_{R}) ⟶ tr [V (A_{R}dA_{R} + dA_{R}A_{R} + A_{R}^{3}) − \frac{1}{2}V A_{R}V A_{R} − V^{3}A_{R}]
−Y(A_{R}^{U^{−1}}, A_{L}) ⟶ tr[(F_{R}^{U^{−1}} + F_{L})(A_{R}^{U^{−1}}A_{L} − A_{L}A_{R}^{U^{−1}})

−((A_{R}^{U^{−1}})^{3}A_{L} − A_{L}^{3}A_{R}^{U^{−1}}) + \frac{1}{2}A_{R}^{U^{−1}}A_{L}A_{R}^{U^{−1}}A_{L}]

である。ただし, V ≡ dU ·U^{−1} = −UdU^{−1}を用いた。 v ≡ dU^{−1}·U = −U^{−1}dU を導入し, A_{R}^{U^{−1}} = U^{−1}A_{R}U − v の表式を代入して辛抱強く計算すればよい。このとき, 9 - 3 (32) 下の脚注に示した全微分項 d(A_{R}UA_{L}dU^{−1}) を加えることに注意せよ。また, 恒等式 dv = v^{2}や UvU^{−1} = −V 等を用いると便利である。

† (30) から (33) の結果を得る際に次の全微分項を落とした:

(−iN/48π^{2}) ∫_{M^{4}} d(A_{R}UA_{L}dU^{−1}).