付録 B (18) 式の証明

Appendix B の (18) 式は、 Case の論文 (K. M. Case, Phys. Rev. 97 (1955) 810-823) に出ているものです。彼の証明は憶えていませんが次のように証明できます:

命題

\begin{matrix}ローレンツ共変性から、一般に \\ \frac{1}{m!}γ^{μ_{1}μ_{2}···μ_{m}} γ^{ν_{1}ν_{2}···ν_{ℓ}} γ_{μ_{1}μ_{2}···μ_{m}} = (−)^{[^{\frac{m}{2}}]} d_{mℓ} γ^{ν_{1}ν_{2}···ν_{ℓ}} & (18) \\ と書けるが、この係数 d_{mℓ} は \\ d_{mℓ} = (−)^{mℓ}\{多項式 (1 + x)^{n−ℓ}(1 − x)^{ℓ}の中の x^{m}の係数\} \\ で与えられる。 \end{matrix}

証明) (18) 式左辺で, (ν_{1}ν_{2} ⋯ ν_{ℓ}) = (12 ⋯ ℓ) の場合を考えれば充分だから、

(18) 式左辺 × (−)^{[^{\frac{m}{2}}]} = ∑_{μ_{1}>μ_{2}>···>μ_{m}} γ^{μ_{1}}γ^{μ_{2}} ⋯ γ^{μ_{m}} (γ^{1}γ^{2} ⋯ γ^{ℓ}) γ_{μ_{m}}γ_{μ_{m−1}} ⋯ γ_{μ_{1}} (1)

を考える。後ろの m 個の γ 行列 γ_{μ_{m}}, γ_{μ_{m−1}}, ⋯, γ_{μ_{1}} を順次 (γ^{1}γ^{2} ⋯ γ^{ℓ}) を跳び越えさせて、前の因子 γ^{μ_{1}}γ^{μ_{2}} ⋯ γ^{μ_{m}} とつぶして行く。 γ_{μ} の 2 乗は 1 だから、この計算は、添え字の組 (μ_{1}, μ_{2}, ⋯, μ_{m}) の各々に対して (跳び越した際の符号) ±1 が出て、それを加えれば良いことになる。しかしこれは、多項式

(−1)^{mℓ} 1 ⋮ ; (1 − x) 2 ⋮ ; (1 − x) ⋯ ℓ ; ⋮ ; (1 − x) ℓ + 1 ; ⋮ ; (1 + x) ℓ + 2 ; ⋮ ; (1 + x) ⋯ n ; ⋮ ; (1 + x)  (2)

の x^{m} の係数に等しい。なぜなら、先ず、この多項式の x^{m} を与える各項は、時空が n 次元の場合の、添え字の組 (μ_{1}, μ_{2}, ⋯, μ_{m}) の取り方と 1:1 に対応しており、かつ、 (跳び越した際の符号として全体の (−1)^{mℓ} 以外に)、 μ_{i} が 1, ⋯, ℓ なら、 −1、 μ_{i} が ℓ + 1, ⋯, n なら、 +1、の符号が各々余分に出るからである。 (証明終わり)

Remark: この公式からすぐにわかる面白い等式。

ℓ が次元 n = 2k の半分の時 (ℓ = n/2 = k) は、 (1 + x)^{n−ℓ}(1 − x)^{ℓ} = (1 − x^{2})^{k} だから、 x の奇数ベキは全て無くなる。したがって、

γ^{奇数個μ}γ^{ν_{1}ν_{2}···ν_{k}} γ_{奇数個μ} = 0 .  (3)

よって、例えば、

時空 4 次元時空 6 次元時空 10 次元
γ^{μ} σ^{νρ} γ_{μ} = 0 γ^{μ} γ^{νρσ} γ_{μ} = 0 γ^{μ} γ^{ν_{1}…ν_{5}} γ_{μ} = 0
γ^{μ_{1}μ_{2}μ_{3}} γ^{νρσ} γ_{μ_{1}μ_{2}μ_{3}} = 0 γ^{μ_{1}μ_{2}μ_{3}} γ^{ν_{1}…ν_{5}} γ_{μ_{1}μ_{2}μ_{3}} = 0
γ^{μ_{1}…μ_{5}} γ^{ν_{1}…ν_{5}} γ_{μ_{1}…μ_{5}} = 0