計画班: B8

非可換空間上の場の理論とその応用

重要な成果

本計画班の最大の成果は、非可換幾何学の観点から、量子ホール効果の物理の集 大成を行ったことである。量子ホール系は、電子の位置を表すx座標とy座標が交 換しないという非可換性によって完全に支配される特異な系である。実験的に観 測されている準粒子を非可換ソリトンと解釈し、また、諸々の量子位相現象を非 可換空間上のクーロン相互作用の帰結として説明した。 その成果は多数の原著論文に纏めると同時に、740ページの単行本（World Scientific社，Quantum Hall Effects 改定第二版）として刊行した。

年度毎の進展と成果

平成13年度

（江澤） 非可換幾何学は量子ホール系で具体的に実現している。２層系においてCP3ソリトンを解析した。 （綿村） 非可換空間上のゲージ理論におけるADHM構成の解析と非可換インスタントン解におけるreciprocityの研究を行こなった。

平成14年度

（江澤） ２層量子ホール系の対称群はW$_\infty$のSU(4)拡大群になることを示し、これをW$_\infty$(4)代数と命名した。次いでグラスマン多様体上のソリトンを解析した。占有率$\nu=2$では２個の電子からなるソリトンが最低エネルギー励起であることを示し実験結果を説明した。 （綿村） 非可換空間に固有のインスタントン解の周りでのフェルミオンゼロモードを構成した。

平成15年度

（江澤） 有効理論に基づきCP3ソリトンの励起エネルギーを外部パラメターの関数として計算し、パラメターを動かし実験との比較を行い，実験結果を見事に説明できることを示した。 （綿村） 量子化されたCPnの上でのゲージ場の配位の解析を行った。特に、射影的加群の 系統的な構成に関しての研究を行った。この結果、非可換CPnにおける 磁気単極子に相当する配位の構成に成功した。

平成16年度

（江澤） 量子ホール系で、位相的荷電密度と電荷密度の間の関係式を導いた。これは非可換幾何学空間でのみ成り立つ特有な関係式である。更に，この関係式が量子ホール系における励起エネルギーに対する実験結果の特異な振る舞いを説明できることを示した。 （綿村） 非可換CPnにおけるモノポール解に相当する配位の、トポロジカルな数を求める問題を考え、非可換CPnにおいてチャーン数の表示を求めることに成功した。

平成17年度

（江澤） 非可換平面上で、空孔励起をW$_\infty$(N)回転して、非可換ソリトンの量子力学的状態を構成した。可換平面上では空孔励起は位相的荷電を持たないが，非可換平面上では持つことになる． （綿村） 通常のADHM構成を超空間に拡張し、それを更に変形することで非可換超空間上の超場形式を用いた変形されたADHM構成ができることを示した。

平成18年度

（江澤） 量子ホール系で実現している非可換空間の物理では運動エネルギー項は存在しない。この様な系での運動方程式を解析し、量子位相に対する有効理論を構築した。この結果を用いて２層量子ホール系で縦抵抗がゼロになる特異な現象があることを示し実験を説明した。 （綿村） 非可換超空間上でインスタントン解を構成する時の微分代数の構成法が最近提唱されたホップ代数による変形量子化との関係を研究している。 ６年間の研究期間中に江澤は25編の、綿村は3編の原著論文を発表した。

国際会議招待講演

• Z.F. Ezawa, ``Integer and fractional quantum Hall effects in Bilayer Electron Systems''%, The 8th ISSP International Symposium "Correlated Electrons"%, Kashiwa, Japan, 2001年10月2日 %
• S. Watamura, ``Reciprocity of Noncommutative Instanton'', China-Japan Joint Workshop on Mathematical Physics Nov. 4--7, 2002, Beijing Univ., Beijing., 2002年11月5日
• Z.F. Ezawa%, ``Spin-Pseudospin SU(4) Coherent Phenomena in Bilayer Quantum Hall Systems''%, Advanced Heterostructure International Workshop%, Hawai, USA, 2002年12月1日%
• S. Watamura, ``Reciprocity and ADHM construction in noncommutative gauge theory'', Noncommutative Geometry and Quantum Field Theory, Jan. 10-15, 2003、Institute of Mathematical Sciences, Chennai, India , 2003年1月12日
• S. Watamura, ``Fuzzy $CP_n$ and Line Bundle'', Noncommutative Geometry and Physics 2004, Keio University, Yokohama, February 26 to March 3, 2004 , 2004年3月2日
• Z.F. Ezawa%, ``Noncommutative Geometry, Effective Field Theory and Skyrmions in Quantum Hall Systems''%, International Workshop on Multifaceted Skyrmions and Effective Field Theory%, Seoul, Korea, 2004年10月25日%
• S. Watamura, ``ADHM construction on Superspace and its Deformation'', Noncommutative Geometry in Field and String Theories, September 18--20, 2005, Corfu, Greece , 2005年9月18日
• S. Watamura, ``A deformation of the differential algebra on Superspace'', Noncommutative Geometry and Physics 2005, Beijing, China , 2005年11月8日
• S. Watamura, ``Differential Calculus on NC Superspace, Instantons and Diffeomorphisms'', Bayrischzell Workshop 2006 on noncommutativity and physics, Bayrischzell, April 21-25, 2006, 2006年4月23日

国内会議招待講演

• 綿村　哲, 「非可換幾何学と場の理論」, 素粒子原子核三者若手夏の学校, 2001年8月4, 5日
• 綿村　哲, 「非可換空間上のゲージ理論」, Summer School 数理物理 2002, 2002年9月21, 22日

シンポジウムの開催

• 綿村　哲, International Workshop on Qunatum Field Theory and Noncommutative Geometry, 2002年11月26-30日，東北大学・仙台
• 綿村　哲, International Workshop on Noncommutative Geometry and Physics 2004, 2004年2月26日-3月3日，慶応大学・横浜
• 綿村　哲, International Workshop on Noncommutative Geometry and Physics 2005, 2005年11月1日-11月11日，東北大学・仙台/北京大学・北京

査読付国際誌

• Z.F. Ezawa and K. Hasebe%, ``Interlayer exchange interactions, SU(4) soft waves and skyrmions in bilayer quantum Hall systems''%, Phys. Rev. B 65 (2002) 075311
• Z.F. Ezawa and K. Hasebe%, ``SU(4) quantum coherence and interlayer tunneling in bilayer quantum Hall systems''%, Physica E 12 (2002) 24
• N. Kumada, D. Terasawa, Y. Shimoda, H. Azuhata, A. Sawada, Z. F. Ezawa, K. Muraki, T. Saku and Y. Hirayama%, ``Various phase transitions in $\nu =2/3$ bilayer quantum Hall states: N. Kumada, D. Terasawa, Y. Shimoda, H. Azuhata, A. Sawada, Z. F. Ezawa, K. Muraki, T. Saku and Y. Hirayama ''%, Physica E 12 (2002) 32
• N. Kumada, D. Terasawa, Y. Shimoda, H. Azuhata, A. Sawada, Z.F. Ezawa, K. Muraki, T. Saku and Y. Hirayama%, ``Phase diagram of interacting composite fermions in the bilayer $\nu$=$2\over3$ quantum hall effect''%, Phys. Rev. Lett. 89 (2002) 116802
• Z.F. Ezawa, A. Sawada and N. Kumada%, ``Integer and fractional quantum Hall effects in Bilayer Electron Systems''%, J. Phys. Chemi. Solids 63 (2002) 1289
• K. Hasebe and Z.F. Ezawa%, ``Grassmannian fields and doubly enhanced skyrmions in the bilayer quantum Hall system at $\nu=2$''%, Phys. Rev. B 66 (2002) 155318
• A. Sawada, D. Terasawa, N. Kumada, M. Morino, K. Tagasira, Z.F. Ezawa, K. Muraki, T. Saku and Y. Hirayama%, ``Continuous transformation from spin- to pseudospin-type excitation ''%, Physica E 18 (2003) 118
• Z.F. Ezawa, G. Tsitsishvili and K. Hasebe%, ``Noncommutative Geometry, Extended W$_\infty$ Algebra and Grassmannian Solitons in Multicomponent Quantum Hall Systems ''%, Phys. Rev. B 67 (2003) 125314
• N. Kumada, D. Terasawa, M. Morino, K. Tagashira, A. Sawada, and Z.F. Ezawa, K. Muraki and Y. Hirayama%, ``Phase diagrams of $\nu=2$ and $\nu=2\over3$ quantum Hall states in bilayer system ''%, Phys. Rev. B 69 (2004) 155319
• N. Kumada, K. Tagashira, K. Iwata, A. Sawada, Z.F. Ezawa, K. Muraki, T. Saku and Y. Hirayama%, ``Effects of In-plane Magnetic Fields on Spin Transitions in Bilayer Quantum Hall States ''%, Physica E 22 (2004) 36
• D. Terasawa, M. Morino, K. Nakada, S. Kozumi, A. Sawada, Z.F. Ezawa, N. Kumada, K. Muraki, T. Saku and Y. Hirayama%, ``Simultaneous Excitation of Spins and Pseudospins in the Bilayer $\nu=1$ Quantum Hall State ''%, Physica E 22 (2004) 52
• Z.F. Ezawa and G. Tsitsishvili%, ``SU(4) Skyrmions and Activation Energy Anomaly in Bilayer Quantum Hall Systems ''%, Phys. Rev. B 70 (2004) 125304
• Z.F. Ezawa, M. Eliashvili and G. Tsitsishvili%, `` Ground-State Structure in $\nu =2$ Bilayer Quantum Hall Systems''%, Phys. Rev. B 71 (2005) 125318
• M. Morino, K. Iwata, A. Fukuda, A. Sawada, Z.F. Ezawa, N. Kumada, and Y. Hirayama%, ``Anisotropic Transport on the $\nu=1$ Bilayer Quantum Hall System under Tilted Magnetic Field ''%, Int. J. Mod. Phys. B 18 (2005) 3705
• D. Terasawa, K. Nakada, S. Kozumi, Z.F. Ezawa, A. Fukuda, A. Sawada, N. Kumada, K. Muraki and Y. Hirayama%, ``Double Magnetoresistance Minima Induced by the In-Plane Magnetic Field for the $\nu=1$ Double-Layer Quantum Hall State ''%, Int. J. Mod. Phys. B 18 (2005) 3709
• K. Iwata, M. Morino, M. Suzuki, A. Fukuda, A. Sawada, Z.F. Ezawa, N. Kumada and Y. Hirayama%, ``Anisotropic Magnetotransport around the $\nu=1$ Bilayer Quantum Hall State: ''%, J. Phys. Chemi. Solids 66 (2005) 1556
• D. Terasawa, S. Kozumi, A. Fukuda, A. Sawada, Z.F. Ezawa, N. Kumada, Y. Hirayama%, ``Pseudospin Domain of $\nu=1$ Double-Layer Quantum Hall State near Commensurate-Incommensurate Transition: D. Terasawa, S. Kozumi, A. Fukuda, A. Sawada, Z.F. Ezawa, N. Kumada, Y. Hirayama ''%, J. Phys. Chemi. Solids 66 (2005) 1560
• G. Tsitsishvili and Z.F. Ezawa %, ``Microscopic Theory of Skyrmions in Quantum Hall Ferromagnets ''%, Phys. Rev. B 72 (2005) 115306
• Z.F. Ezawa and G. Tsitsishvili%, ``Topological Solitons in Noncommutative Plane and Quantum Hall Skyrmions: ''%, PR D 72 (2005) 85002
• U. Carow-Watamura, H. Steinacker and S. Watamura , ``Monopole Bundles over Fuzzy Complex Projective Spaces'', Journal of Geometry and Physics, 54 (2005), 373-399
• T. Araki, T. Takashima and S. Watamura , ``On A Superfield Extension of The ADHM Construction and N=1 Super Instantons '', Journal of High Energy Physics, 0508 (2005) 065
• T. Araki, T. Takashima and S. Watamura , ``Instantons in N=1/2 Super Yang-Mills Theory via Deformed Super ADHM Construction'', Journal of High Energy Physics, 0512 (2005) 044
• A. Fukuda, A. Sawada, S. Kozumi, D. Terasawa, Y. Shimoda, Z.F. Ezawa, N. Kumada, Y. Hirayama%, ``Magnetotransport Study of the Canted Antiferromagnetic Phase in Bilayer $\nu=2$ Quantum Hall State ''%, Phys. Rev. B73 (2006) 165304
• %, A. Fukuda, S. Kozumi, D. Terasawa, Y. Shimoda, N. Kumada, Y. Hirayama, Z.F. Ezawa, A. Sawada , Quantum Transport Study of Canted Antiferromagnet Phase in the $\nu = 2$ Bilayer Quantum Hall State , Physica E 34 (2006) 77-80
• %, D. Terasawa, A. Fukuda, S. Kozumi, A. Sawada, Z.F. Ezawa, N. Kumada and Y. Hirayama, Stability of Soliton Lattice phase in $\nu=1$ Bilayer Quantum Hall State under Tilted Magnetic Field, Physica E 34 (2006) 81-84
• %, M. Morino, K. Iwata, M. Suzuki, A. Fukuda, A. Sawada, Z.F. Ezawa, N. Kumada and Y. Hirayama, Anisotropic Magnetotransport near the $\nu=2/3$ Quantum Hall State, Physica E 34 (2006) 152-155
• %, Z.F. Ezawa, S. Suzuki, G. Tsitsishvili, Anomalous Quantum-Hall Resistance in Bilayer Counterflow Transport, Physica Status Solidi (c) 4 (2007) 485

プレプリント

• Z.F. Ezawa, S. Suzuki and G. Tsitsishvili%, ``Anomalous Hall Resistance in Bilayer Quantum Hall Systems'', cond-mat/0701063

学会発表リスト

• 田頭邦弘、熊田倫雄、下田雄一、森野正行、澤田安樹、江澤潤一、村木康二、佐久規、平山祥郎%, 「2層系における整数量子ホール効果と分数量子ホール効果の比較」%, 日本物理学会 秋季大会（中部大）, 2002年9月8日
• 熊田倫雄、田頭邦弘、岩田一樹、澤田安樹、江澤潤一、村木康二、佐久規、平山祥郎%, 「2層系量子ホール状態における準位交差−反交差現象」%, 日本物理学会 第58回年次大会（東北大）, 2003年3月31日
• 中田和孝、寺澤大樹、古住信介、澤田安樹、江澤潤一、熊田倫雄、村木康二、佐久規、平山祥郎%, 「トンネリングギャップの大きい2層系ν=1量子ホール状態における励起エネルギー」%, 日本物理学会 秋季大会（岡山大）, 2003年9月21日
• 寺澤大樹、中田和孝、古住信介、澤田安樹、江澤潤一、熊田倫雄、村木康二、佐久規、平山祥郎%, 「2層系ν=1状態の整合・非整合相転移と磁気抵抗の2つの極小」%, 日本物理学会 第59回年次大会（九州大）, 2004年3月28日
• 岩田一樹、森野正行、鈴木三千郎、福田昭、澤田安樹、江澤潤一、熊田倫雄、村木康二、平山祥郎%, 「2層系量子ホール状態における電流方向と面内磁場方向の違いによる縦抵抗の異方性」%, 日本物理学会 秋季大会（青森大）, 2004年9月13日
• 古住信介，寺澤大樹，福田昭，澤田安樹，江澤潤一，熊田倫雄，村木康二，平山祥郎%, 「2層系ν=2量子ホール状態の整合非整合相転移」%, 日本物理学会 秋季大会（青森大）, 2004年9月13日
• 森野正行、岩田一樹、鈴木三千郎、福田昭、澤田安樹、江澤潤一、熊田倫雄、平山祥郎%, 「2層系ν=2/3状態における異方的電気伝導」%, 日本物理学会 第60回年次大会（東京理科大）, 2005年3月24日
• 寺澤大樹、古住信介、福田昭、澤田安樹、江澤潤一、熊田倫雄、平山祥郎%, 「2層系ν=1の面内磁場を加えたときの相図」%, 日本物理学会 第60回年次大会（東京理科大）, 2005年3月24日
• 森野正行，鈴木三千郎，岩田一樹，福田昭，澤田安樹，江澤潤一，熊田倫雄，平山祥郎%, 「2層ν=1量子ホール状態における縦抵抗の2つの極小と異方性」%, 日本物理学会 秋季大会（同志社大）, 2005年9月20日
• 福田昭、古住信介、寺澤大樹、熊田倫雄、平山祥郎、江澤潤一、澤田安樹%, 「2層系ν=2量子ホール状態の傾角反強磁性相における横磁場の効果」%, 日本物理学会 秋季大会（同志社大）, 2005年9月20日
• 福田昭、古住信介、寺澤大樹、熊田倫雄、平山祥郎、江澤潤一、澤田安樹%, 「2層系ν=2量子ホール状態の傾角反強磁性相における横磁場の効果」%, 日本物理学会 第61回年次大会（愛媛大）, 2006年3月27日
• 岩田一樹、森野正行、福田昭、澤田安樹、江澤潤一、鈴木三千郎、熊田倫雄、平山祥郎%, 「ν=2/3量子ホール状態におけるヒステリシスの異方性」%, 日本物理学会 第61回年次大会（愛媛大）, 2006年3月27日
• 福田昭，岩田一樹，関川貴史，西中川良平，新井敏一， 澤田安樹，江澤潤一，熊田倫雄，平山祥郎%, 「2層系ν=1/3量子ホール状態」%, 日本物理学会 秋季大会（千葉大学）, 2006年9月25日
• 岩田一樹，森野正行，福田昭，澤田安樹，江澤潤一，鈴木三千郎，熊田倫雄，平山祥郎%, 「ν=2/3量子ホール状態におけるドメイン構造の面内磁場依存性」%, 日本物理学会 秋季大会（千葉大学）, 2006年9月25日
• 福田昭，岩田一樹，関川貴史，西中川良平，新井敏一，澤田安樹，江澤潤一，熊田倫雄，平山祥郎%, 「2層系ν=1/3量子ホール状態における活性化エネルギーの電子密度差依存性」%, 日本物理学会 春季大会（鹿児島大）, 2007年3月18日
• 岩田一樹，福田昭，西中川良平，関川貴史，澤田安樹，新井敏一，江澤潤一，熊田倫雄，平山祥郎%, 「強面内磁場下での2層系ν=3量子ホール状態におけるヒステリシス現象」%, 日本物理学会 春季大会（鹿児島大）, 2007年3月18日

解説書

• 江澤潤一, Quantum Hall Effects -- Field Theoretical Approach and Related Topics, Second Edition, World Scientific, (2007) 740ページ
• 綿村　哲, 超弦理論と数学の発展 --時空の新しい描像-- 数理科学　No.460, (2001)33-39
• 綿村　哲, 時空の不確定性と非可換性 数理科学　No.495, (2004)35-40
• 綿村　哲, 非可換空間上のゲージ理論 数理物理への誘い５, 遊星社 (2005) 143-168
• 綿村　哲・大森英樹, 数学セミナー ２００２年１１月号 21世紀数学のキーワード"非可換"

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• http://www.tuhep.phys.tohoku.ac.jp/~ezawa/