応用例：浅い水の波

水の波は多彩であって、身近な存在である。例えば水溜りに出来る丸い波紋等は 日常的な存在であるが、改めて考えるとどうしてなのかは分からない。また 海岸に打ち寄せる波は何故か海岸線に沿う様に波が打ち寄せる。こうした事は ベルヌーイの定理を使うと説明のつく現象である。

図2の様に平らな水底の上で伝播する波を考えてみよう。波の振幅を2a, 平均水深をh,波長を$\lambda$として $a\ll h\ll \lambda$の状況を考える。 また(現実的ではないが)水を完全流体として、底は滑べりやすく、表面張力の 影響も無視しよう。

この波が形を変えないとすると波の伝播は位相速度と呼ばれるもので決まる。 今、諸君は位相速度と通常の速度の違いが何であるかを気にしなくてもよい。 (位相速度は光速を超える事があるので注意する必要がある。その場合は波の形 が崩れているので位相速度は波の伝播速度と見倣せない。しかしここでは気にし なくてもよい)。このような状況では波はほぼ位相速度と共に動く座標系では波 は止まって見え、定常的な波(定在波)と考えて良い。

 

Figure 2: 斜線がかかったところが流管の断面。体積V_A,V_Bは断面に囲まれ た領域。矢印は流れを表す。速さはそれぞれv_A,v_B

微小振幅波であれば一般に波の形とその伝播速度を三角関数で表現できる。 実際この問題でもおおまかに定在波と捉えた場合には定在状態からのずれの 波形と速度は単振動をする。 (そうでないと安定に水面が存在しない)。したがって、水面の山の所での速度を uとすると、水面の谷のところではほぼ-uと考えて良い。流体と共に動く座 標系に対する相対速度はそれぞれu-c,-u-cであるからベルヌーイの定理 (6)式を使うと

$$\frac{1}{2}\rho (u-c)^2+\rho g (h+a)+P_0=\frac{1}{2}\rho (u+c)^2+ \rho g (h-a)+P_0$$ (7)

となる。ここで水面では等しく大気圧P₀がかかることを考慮している。 この式を整理すると残るのは

 

u c=g a (8)

となる。 $a\ll \lambda$から縦方向の運動の自由度を無視し、水平方向は皆同じ 速度で動くとすると 流量の保存は

$$(u-c)(h+a)=-(u+c)(h-a) \to u h=c a$$ (9)

となる。(8)と(9)式を組み合わせる事で

$$c=\sqrt{gh}$$ (10)

となる。

この(10)式は興味深い結果である。深い所ではより波の伝播が速く起 こる事を示しているのである。従って図のように沖では直線状の波が来ても 深い所程速く波が進むので、海岸線の形に合わせたような形で波が伝播する。

ここではかなり非現実的な仮定のもとで荒っぽい議論をしたが、そのことを補足 しておこう。まず平らな底からは何も実際に遠浅の海岸の波の打ち寄せを議論で きないのではないかという批判が考えられる。しかし深さの変化率は極めて小さ いのでほぼここでの議論が使える。つまり違う場所毎に伝播速度を平らな床とし て見倣した方が現実的なのである。また床の滑べりを仮定したことはそれほど問題に ならない。ここでも水は境界層の厚さよりも外側では完全流体と考えて差し支え ない。また問題設定の後も随分荒っぽい近似をしたが、その点については流体力 学の教科書を見れば分かる通りに結果には違いがない。