微分方程式の解き方

数野一平
北海道大学

October 27, 2001

変数分離型

次のような形をもつ微分方程式を解いてみよう。

$\begin{displaymath} {dy \over dx} = f(x) g(y)\end{displaymath}$

この微分方程式の特徴は、右辺が x の関数と y の関数の積で表されていることであり、「変数分離型」と呼ばれます。

変数分離型の微分方程式は、左辺と右辺に y と x の関数を「分離」することによって解くことが出来ます。

$\begin{displaymath} {1\over g(y)} {dy \over dx} = f(x)\end{displaymath}$

これではまだ分離されているように見えませんが、左辺は x で積分すると y の積分に置き直せることがわかりますね。

$\begin{displaymath} \int {1\over g(y)} {dy \over dx} dx = \int f(x) dx \to \int {1\over g(y)} dy = \int f(x) dx\end{displaymath}$

この両辺の不定積分が実行でき、かつこれを y について解くことができれば、微分方程式が解けたことになります。

さて、例として次の微分方程式を解いてみましょう。

$\begin{displaymath} {dy \over dx} = {y \over 2x}\end{displaymath}$

説明にある通り、変数分離を行います。

$\begin{displaymath} \int {dy \over y} = \int {dx \over 2x} \to \log \vert y\vert = {1\over 2} \log \vert x\vert + C\end{displaymath}$

ここで C は不定積分に伴う積分定数です。これを y について解くと、解が得られます。

$\begin{displaymath} y = \pm \exp C \sqrt{x} = A \sqrt{x}\end{displaymath}$

$\pm \exp C$ を改めて A とおき直しています。

微分方程式の解に現われる積分定数は、通常、初期条件によって決まります。例えば y(1) = 1 の場合には、両辺に x = 1, y = 1 を代入して A=1 と決まります。

下の図に、この微分方程式の解のグラフを示します。点が数値的に解いた答え、実線が $y = \sqrt{x}$ です。

Akira OHNISHI
10/27/2001