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KdV 方程式 u_t + u_xxx + 6uu_x= 0

Korteweg-de Vries (KdV) 方程式は非線形波動のモデル方程式の チャンピオンである。 １９世紀に Korteweg と de Vries により 水面波方程式として研究され、長い休眠期間の後、ソリトン現象の 最も基本的な方程式として復活した。実際、Krusal と Zabusky が 「ソリトン」という言葉を導入したのはこの方程式の数値実験から である。

• 2-soliton solution [gif]
  ここでお見せするのは２-ソリトン解（２個のソリトンを もつ解）である。ソリトンは解のピークとして現れている。 背の高いソリトン（速い）が背の低いソリトン（遅い） に左から近づいている。２つは間もなく融合し、すぐに分離する。 縦横の比がかなり大きいことに注意されたい。実際の波形は、 ちょうど Scott-Russel が観察したような、平坦な水面波に 近い。
  
  [profile of 2-soliton solution before collision]
  solution: u = 2*(Log f)_{xx},
  f = 1 + Exp[eta1] + Exp[eta2] + c12*Exp[eta1+eta2],
  eta1 = k1*(x - x1) - k1^3*t, eta2 = k2*(x - x2) - k2^3*t,
  c12 = (k1-k2)^2 / (k1+k2)^2.
  parameters: k1 = 2, k2 = 1, x1 = -8, x2 = -2.
  

• Emergence of solitons from sinusoidal wave [gif]
  Zabusky と Kruskal は KdV 方程式の数値解の中にソリトンを 発見した。ここにお見せするのはそのような数値解の動画である。 設定は Zabusky と Kruskal の数値計算とほとんど同じである： 1) 方程式は差分スキーム（Cranck - Nicolson あるいは 「蛙跳び」法）で解かれている。 2) 方程式は周期的境界条件のもとで解かれている。 3) 初期値は全空間にわたって１周期の正弦波である。

  数値解は正弦波が間もなくソリトンの列に発達することを 示している。ソリトン列の末端は後方に成長し、遂には ソリトン列の先頭と重なり合う。重なり合った領域の中に ソリトンの衝突が見える。
  
  [soliton train developed from sinusoidal initial value]